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GUÍAS CON PRÁCTICA

Ocho recorridos completos: cuándo elegir el método, ejemplo explicado y tres retos para intentarlo tú.

Cambio de variable →Por partes cíclica →Factores lineales repetidos →Cuadráticos repetidos y factores mixtos →Cambio de orden y Fubini →Polares y cilíndricas →Coordenadas cilíndricas →Coordenadas esféricas →
1Lo esencial

Potencias y linealidad

∫xn dx=xn+1n+1+C,n≠−1\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne-1Ver explicación2Reconocer patrones

Cambio de variable

u=g(x),du=g′(x) dxu=g(x),\quad du=g^{\prime}(x)\,dxVer explicación3Productos

Integración por partes

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,duVer explicación4Funciones racionales

Fracciones parciales

1x2−1=12(x−1)−12(x+1)\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}Ver explicación5Identidades

Integrales trigonométricas

sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}Ver explicación6Regiones y orden

Dobles y triples

∫cd∫a(y)b(y)f(x,y) dx dy\int_c^d\int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)\,dx\,dyVer explicación7Simetría circular

Polares y cilíndricas

x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θ,dA=r dr dθx=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\thetaVer explicación8Simetría espacial

Coordenadas esféricas

dV=r2sin⁡ϕ dr dϕ dθdV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\thetaVer explicación9Límites

Impropias y convergencia

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dxVer explicación10Técnicas avanzadas

Funciones beta y gamma

Γ(s)=∫0∞ts−1e−t dt,s>0\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt,\quad s>0Ver explicación11Técnicas avanzadas

Green, Stokes y teorema de la divergencia

∮∂DP dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dAVer explicación12Funciones racionales

Fracción propia: grado del numerador menor

deg⁡P<deg⁡Q\deg P<\deg QVer explicación13Funciones racionales

Grado mayor o igual: dividir primero

PQ=S+RQ,deg⁡R<deg⁡Q\frac{P}{Q}=S+\frac{R}{Q},\quad\deg R<\deg QVer explicación14Funciones racionales

Factores lineales distintos

P(x−a)(x−b)=Ax−a+Bx−b\frac{P}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}Ver explicación15Funciones racionales

Factores lineales repetidos

A1x−a+A2(x−a)2+⋯+Am(x−a)m\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(x-a)^m}Ver explicación16Funciones racionales

Cuadráticos irreducibles

Ax+Bax2+bx+c,b2−4ac<0\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c},\quad b^2-4ac<0Ver explicación17Funciones racionales

Cuadráticos repetidos y factores mixtos

∑k=1mAkx+Bk(ax2+bx+c)k\sum_{k=1}^m\frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}Ver explicación18Técnicas de integración

Primitivas inmediatas y regla de la cadena

∫f′(x)g(f(x)) dx=G(f(x))+C\int f'(x)g(f(x))\,dx=G(f(x))+CVer explicación19Técnicas de integración

Patrón logarítmico f′/f

∫f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+CVer explicación20Funciones racionales

Completar el cuadrado

ax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24aax^2+bx+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}Ver explicación21Técnicas de integración

Por partes repetida y tabla

∫P(x)eax dx\int P(x)e^{ax}\,dxVer explicación22Técnicas de integración

Por partes cíclica

I=A−kII=A-kIVer explicación23Técnicas de integración

Fórmulas de reducción

In=∫sin⁡nx dxI_n=\int\sin^n x\,dxVer explicación24Técnicas de integración

Senos y cosenos: potencias pares e impares

∫sin⁡mxcos⁡nx dx\int\sin^m x\cos^n x\,dxVer explicación25Técnicas de integración

Tangentes, secantes, cotangentes y cosecantes

1+tan⁡2x=sec⁡2x1+\tan^2x=\sec^2xVer explicación26Técnicas de integración

Producto a suma y ángulo doble

sin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)]\sin a\cos b=\tfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]Ver explicación27Técnicas de integración

Sustitución trigonométrica: tres raíces

a2−x2,a2+x2,x2−a2\sqrt{a^2-x^2},\quad\sqrt{a^2+x^2},\quad\sqrt{x^2-a^2}Ver explicación28Técnicas de integración

Cambio universal t = tan(x/2)

sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}Ver explicación29Técnicas de integración

Sustituciones hiperbólicas

cosh⁡2t−sinh⁡2t=1\cosh^2t-\sinh^2t=1Ver explicación30Técnicas de integración

Racionalizar raíces y potencias fraccionarias

x=tmx=t^mVer explicación31Técnicas avanzadas

Sustituciones de Euler para raíces cuadráticas

ax2+bx+c=t+a x(a>0)\sqrt{ax^2+bx+c}=t+\sqrt a\,x\quad(a>0)Ver explicación32Técnicas de integración

Cambios exponenciales y logarítmicos

t=ex,dx=dt/tt=e^x,\quad dx=dt/tVer explicación33Técnicas de integración

Definidas y teorema fundamental

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)Ver explicación34Técnicas de integración

Simetría, paridad y periodicidad

∫−aafimpar(x) dx=0\int_{-a}^af_{\mathrm{impar}}(x)\,dx=0Ver explicación35Técnicas de integración

Valor absoluto y funciones por tramos

∫abf=∑j∫cjcj+1fj\int_a^bf=\sum_j\int_{c_j}^{c_{j+1}}f_jVer explicación36Técnicas avanzadas

Trapecios y Simpson

Sn=h3[f0+4f1+2f2+⋯+4fn−1+fn]S_n=\frac h3[f_0+4f_1+2f_2+\cdots+4f_{n-1}+f_n]Ver explicación37Varias variables

Cambio de orden y Fubini

∬Df dA\iint_Df\,dAVer explicación38Varias variables

Cambio general de variables y jacobiano

dA=∣det⁡∂(x,y)∂(u,v)∣du dvdA=\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dvVer explicación39Varias variables

Coordenadas cilíndricas

dV=r dr dθ dzdV=r\,dr\,d\theta\,dzVer explicación40Técnicas avanzadas

Derivación respecto a un parámetro

dda∫ABf(x,a) dx=∫AB∂af(x,a) dx\frac d{da}\int_A^B f(x,a)\,dx=\int_A^B\partial_af(x,a)\,dxVer explicación41Técnicas avanzadas

Integración mediante series

∫∑n=0∞anxn dx=∑n=0∞anxn+1n+1+C\int\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\,dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}+CVer explicación42Técnicas avanzadas

Primitivas no elementales y funciones especiales

∫e−x2 dx=π2erf⁡(x)+C\int e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}(x)+CVer explicación43Técnicas avanzadas

Contornos complejos y residuos

∮γf(z) dz=2πi∑Res⁡(f)\oint_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f)Ver explicación