Polares y cilíndricas

Cuándo elegir este método

• La región contiene discos, sectores o coronas centrados en el origen.
• Aparecen x²+y² o una simetría de giro. Un disco desplazado puede requerir límites dependientes.

Antes de calcular

1. Convierte la función y describe radio y ángulo.
2. Multiplica por r para convertir dA en r dr dθ.

Un ejemplo completo, paso a paso

1. La región es el disco de radio 2 completo: necesitamos todos los ángulos.

   $$0\le r\le2,\qquad0\le\theta\le2\pi$$

2. Sustituimos x=r cosθ e y=r sinθ en la función.

   $$x^2+y^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2$$

3. El factor r de la función no es el jacobiano: aquí la función es r² y el jacobiano es otro r.

   $$I=\int_0^{2\pi}\int_0^2 r^3\,dr\,d\theta$$

4. Integramos respecto al radio y aplicamos sus límites.

   $$\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2=4$$

5. La integral angular multiplica por la vuelta completa.

   $$I=\int_0^{2\pi}4\,d\theta=8\pi$$

Ahora inténtalo tú

Resuelve en papel antes de abrir la pista o la respuesta. Estas actividades son de autoevaluación; para corregir una respuesta escrita, entra en Aprender.

En estos ejercicios, θ recorre de 0 a 2π: se considera una vuelta completa.

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