∫IntegralPasoEnglish
Técnicas de integración

Cambio universal t = tan(x/2)

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}

Transforma una función racional de sin x y cos x en una función racional de t. Usa dx=2dt/(1+t²) y resuelve por técnicas racionales. Trabaja en intervalos donde tan(x/2) esté definida.

Error frecuente

El cambio es general para funciones racionales trigonométricas, pero puede producir una fracción larga.

Ejemplo paso a paso

  1. Introduce t y transforma 1+cos x.

    ∫dx1+cos⁡x,1+cos⁡x=21+t2\int\frac{dx}{1+\cos x},\quad1+\cos x=\frac2{1+t^2}

  2. Sustituye también dx.

    I=∫2/(1+t2)2/(1+t2) dt=∫dtI=\int\frac{2/(1+t^2)}{2/(1+t^2)}\,dt=\int dt

  3. Vuelve a x y conserva las exclusiones.

    I=tan⁡(x/2)+CI=\tan(x/2)+C

Continúa aprendiendo

Practicar este método