Sustituciones hiperbólicas

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

Para √(a²+x²), x=a sinh t evita los signos ambiguos porque cosh t>0. Para √(x²−a²), x=a cosh t funciona en la rama x≥a; la rama negativa requiere otro planteamiento.

Ejemplo paso a paso

1. Usa x = sinh t.

   $$I=\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}},\quad dx=\cosh t\,dt$$

2. La raíz es cosh t, que es positiva.

   $$I=\int dt$$

3. Vuelve usando la función inversa.

   $$I=\operatorname{arsinh}x+C=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$$