Integración por partes

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

Elige u de modo que su derivada simplifique el problema y dv de modo que tenga una primitiva accesible. Calcula du y v antes de sustituir. LIATE es una orientación: logaritmos, inversas trigonométricas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales. No garantiza la mejor elección en todos los casos.

Ejemplo resuelto

1. Identificamos el integrando, las variables y el orden. En una integral múltiple empezamos por la integral más interior.

   $$\int x e^{x}\, dx$$

2. Integramos respecto a x. Las otras variables se tratan como constantes en esta etapa.

   $$\int x e^{x}\, dx$$

3. Elegimos u y dv. Derivamos u y calculamos una primitiva v de dv.

   $$u=x,\quad dv=e^{x}\,dx,\quad du=1\,dx,\quad v=e^{x}$$

4. Sustituimos en la fórmula de integración por partes. El signo menos afecta a toda la integral restante.

   $$\int x e^{x}\, dx = x e^{x} - \int e^{x}\, dx$$

5. La exponencial es su propia derivada. Si el exponente tiene un factor constante, compensamos ese factor.

   $$\int e^{x}\, dx = e^{x}$$

6. Comprobamos esta primitiva derivándola: recuperamos exactamente el integrando de esta etapa.

   $$\left(x - 1\right) e^{x} + e^{x} = x e^{x}$$

7. Añadimos la constante C: todas las primitivas de un intervalo difieren en una constante.

   $$\left(x - 1\right) e^{x} + C$$