Coordenadas cilíndricas

Cuándo elegir este método

• La proyección horizontal es circular y la altura se expresa mediante z y x²+y².
• Las cilíndricas mantienen z y cambian solo las coordenadas del plano.

Antes de calcular

1. Determina la proyección y las superficies inferior y superior.
2. Escoge un orden compatible con las dependencias. La calculadora integra dr, dθ, dz en cilíndricas.

Un ejemplo completo, paso a paso

1. La desigualdad exige z≥0 y r²≤4. La proyección es un disco de radio 2.

   $$0\le r\le2,\quad0\le z\le4-r^2$$

2. También podemos cortar a altura z. Despejamos el radio máximo; ahora z es exterior.

   $$0\le z\le4,\quad0\le r\le\sqrt{4-z},\quad0\le\theta\le2\pi$$

3. La función para volumen es 1; el jacobiano aporta r. Usamos el orden que admite el editor.

   $$V=\int_0^4\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{4-z}}r\,dr\,d\theta\,dz$$

4. Integramos radialmente mientras z se trata como constante.

   $$\int_0^{\sqrt{4-z}}r\,dr=\frac{4-z}{2}$$

5. La integral angular da 2π.

   $$V=\pi\int_0^4(4-z)\,dz$$

6. Evaluamos la altura de 0 a 4 y obtenemos el volumen.

   $$V=\pi\left[4z-\frac{z^2}{2}\right]_0^4=8\pi$$

Ahora inténtalo tú

Resuelve en papel antes de abrir la pista o la respuesta. Estas actividades son de autoevaluación; para corregir una respuesta escrita, entra en Aprender.

En estos ejercicios, θ recorre de 0 a 2π: se considera una vuelta completa.

Conecta con otros métodos