∫IntegralPasoEnglish
Reconocer patrones

Cambio de variable

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

u=g(x),du=g′(x) dxu=g(x),\quad du=g^{\prime}(x)\,dx

Busca una función compuesta acompañada de su derivada. Define u, calcula du y transforma toda la integral a u: no deben quedar mezcladas x y u. Si la integral es indefinida, vuelve a x al final. Si es definida y trabajas en u, transforma los dos límites mediante g.

Elige el caso

Sustitución trigonométrica: tres raícesa2−x2,a2+x2,x2−a2\sqrt{a^2-x^2},\quad\sqrt{a^2+x^2},\quad\sqrt{x^2-a^2}Ver explicación y ejemplo

Error frecuente

Cambiar la función sin cambiar dx, o usar límites de x en una integral respecto a u.

GUÍA DESARROLLADA · 7 min

Elegir u y cambiar los límites sin mezclar las dos variables.

Cuándo elegir este método

  • Una función compuesta aparece acompañada de su derivada, quizá con un factor constante distinto.
  • En integrales definidas puedes evaluar en u con límites nuevos o volver a x con límites originales.

Antes de calcular

  1. Define u y despeja el producto que sustituye a dx.
  2. Transforma ambos extremos y escribe una integral íntegramente en u.

Un ejemplo completo, paso a paso

∫012xcos⁡(x2+1) dx\int_0^1 2x\cos(x^2+1)\,dx

  1. El interior del coseno tiene derivada 2x, que coincide con el factor exterior.

    u=x2+1,du=2x dxu=x^2+1,\qquad du=2x\,dx

  2. Convertimos el extremo inferior y el superior por separado.

    x=0⇒u=1,x=1⇒u=2x=0\Rightarrow u=1,\qquad x=1\Rightarrow u=2

  3. Después del cambio no queda ninguna x en la integral.

    I=∫12cos⁡u duI=\int_1^2\cos u\,du

  4. Integramos coseno y evaluamos superior menos inferior.

    I=[sin⁡u]12=sin⁡2−sin⁡1I=[\sin u]_1^2=\sin2-\sin1

Comprueba el resultado y el dominio

En [0,1], u crece de 1 a 2. También puedes derivar sin(x²+1) para comprobar la primitiva antes de evaluar.

ddxsin⁡(x2+1)=2xcos⁡(x2+1)\frac{d}{dx}\sin(x^2+1)=2x\cos(x^2+1)
Cargar este ejemplo en la calculadora

Ahora inténtalo tú

Resuelve en papel antes de abrir la pista o la respuesta. Estas actividades son de autoevaluación; para corregir una respuesta escrita, entra en Aprender.

EJERCICIO 1∫3x2ex3 dx\int 3x^2e^{x^3}\,dx
Ver una pista

Prueba u=x³.

Comprobar mi resultadoex3+Ce^{x^3}+C
EJERCICIO 2∫2x1+x2 dx\int\frac{2x}{1+x^2}\,dx
Ver una pista

El numerador es la derivada del denominador.

Comprobar mi resultadoln⁡(1+x2)+C\ln(1+x^2)+C
EJERCICIO 3∫xcos⁡(x2) dx\int x\cos(x^2)\,dx
Ver una pista

du=2x dx: aparece un factor 1/2.

Comprobar mi resultado12sin⁡(x2)+C\frac12\sin(x^2)+C
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Primitivas inmediatas y regla de la cadena →Integración por partes →Sustitución trigonométrica: tres raíces →

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