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Técnicas avanzadas

Integración mediante series

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

∫∑n=0∞anxn dx=∑n=0∞anxn+1n+1+C\int\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\,dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}+C

Una serie de potencias se puede integrar término a término en el interior de su radio de convergencia. Para otros tipos de series necesitas justificar el intercambio, por ejemplo con convergencia uniforme o dominación. Los extremos requieren un análisis separado.

Error frecuente

No supongas que el radio permite incluir automáticamente sus extremos.

Ejemplo paso a paso

  1. Usa la serie geométrica en |x|<1.

    11−x=∑n=0∞xn\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n

  2. Integra desde 0 hasta x dentro de ese intervalo.

    ∫0xdt1−t=∑n=0∞xn+1n+1\int_0^x\frac{dt}{1-t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}

  3. Relaciona la serie con el logaritmo.

    −ln⁡(1−x)=∑n=0∞xn+1n+1,∣x∣<1-\ln(1-x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1},\quad|x|<1

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