Sustituciones de Euler para raíces cuadráticas

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

Una sustitución de Euler puede convertir funciones racionales de x y una raíz cuadrática en funciones racionales de un parámetro. Hay variantes cuando a>0, c>0 o se conoce una raíz real del polinomio. Cada variante exige fijar signos y evitar denominadores nulos.

Ejemplo paso a paso

1. Elige t = √(x²+1)−x; entonces t>0.

   $$\sqrt{x^2+1}=x+t$$

2. Eleva al cuadrado y despeja.

   $$x=\frac{1-t^2}{2t},\quad\sqrt{x^2+1}=\frac{1+t^2}{2t}$$

3. El diferencial transforma esta integral en un logaritmo.

   $$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{dt}{t}=-\ln t+C$$