Coordenadas esféricas

Cuándo elegir este método

• La región depende de x²+y²+z² o de la distancia al origen.
• Fija la convención: aquí φ se mide desde el eje z positivo y θ alrededor de ese eje.

Antes de calcular

1. Describe radio, ángulo polar y azimut antes de integrar.
2. Convierte la función y multiplica por ρ² sinφ. En el editor, el radio se llama r.

Un ejemplo completo, paso a paso

1. La región es una bola completa de radio 2. El ángulo polar abarca π, no 2π.

   $$0\le\rho\le2,\quad0\le\phi\le\pi,\quad0\le\theta\le2\pi$$

2. La suma de cuadrados pasa a ser ρ².

   $$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi$$

3. La función ρ² y el jacobiano ρ² sinφ producen ρ⁴ sinφ.

   $$I=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^2\rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$$

4. Integramos la potencia radial sin tocar aún los ángulos.

   $$\int_0^2\rho^4\,d\rho=\frac{32}{5}$$

5. La integral polar vale 2; el signo menos de la primitiva es importante.

   $$\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi=[-\cos\phi]_0^\pi=2$$

6. Multiplicamos por la integral azimutal 2π.

   $$I=\frac{32}{5}\cdot2\cdot2\pi=\frac{128\pi}{5}$$

Ahora inténtalo tú

Resuelve en papel antes de abrir la pista o la respuesta. Estas actividades son de autoevaluación; para corregir una respuesta escrita, entra en Aprender.

Conecta con otros métodos