Integrales trigonométricas

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

En productos de senos y cosenos, una potencia impar permite separar un factor y usar una sustitución. Si las potencias son pares, las identidades de ángulo doble pueden reducir el grado. Las raíces como √(a²−x²) sugieren una sustitución trigonométrica, pero debes fijar un intervalo para controlar signos y raíces.

Ejemplo resuelto

1. Identificamos el integrando, las variables y el orden. En una integral múltiple empezamos por la integral más interior.

   $$\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

2. Integramos respecto a x. Las otras variables se tratan como constantes en esta etapa.

   $$\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$$

3. Buscamos identidades trigonométricas que simplifiquen el integrando; después aplicamos las reglas a la expresión obtenida.

   $$\sin^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$

4. Reescribimos la expresión en una forma equivalente más fácil de integrar.

   $$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

5. Separamos la suma. La integral de una suma es la suma de sus integrales.

   $$\int \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = \int \frac{1}{2}\, dx + \int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx$$

6. Una constante se integra multiplicándola por la variable.

   $$\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$$

7. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

   $$\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$$

8. Hacemos un cambio de variable y reemplazamos también el diferencial; ambos deben cambiar juntos.

   $$u = 2 x,\quad du = 2\,dx$$

9. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

   $$\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$$

10. Usamos que la derivada de sin(x) es cos(x).

    $$\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$$

11. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$$

12. Una vez integrada la expresión en u, volvemos a la variable original.

    $$\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$

13. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$$

14. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$$

15. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$$

16. Comprobamos esta primitiva derivándola: recuperamos exactamente el integrando de esta etapa.

    $$\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$

17. Añadimos la constante C: todas las primitivas de un intervalo difieren en una constante.

    $$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + C$$