Dobles y triples

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

Describe primero la región. En la integral interior, la variable exterior se trata como constante. Integra de dentro hacia fuera y sustituye límites en cada etapa. Cambiar el orden requiere describir de nuevo la misma región; no basta con intercambiar dx y dy. En casos regulares se aplica Fubini, pero hay condiciones de integrabilidad.

Ejemplo resuelto

1. Identificamos el integrando, las variables y el orden. En una integral múltiple empezamos por la integral más interior.

   $$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1 - y} \left(x + y\right)\, dx\, dy$$

2. Integramos respecto a x. Las otras variables se tratan como constantes en esta etapa.

   $$\int \left(x + y\right)\, dx$$

3. Separamos la suma. La integral de una suma es la suma de sus integrales.

   $$\int \left(x + y\right)\, dx = \int x\, dx + \int y\, dx$$

4. Aplicamos la regla de potencias: sumamos 1 al exponente y dividimos por ese nuevo exponente. Se requiere n ≠ −1.

   $$\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$$

5. Una constante se integra multiplicándola por la variable.

   $$\int y\, dx = x y$$

6. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

   $$\int \left(x + y\right)\, dx = \frac{x^{2}}{2} + x y$$

7. Comprobamos esta primitiva derivándola: recuperamos exactamente el integrando de esta etapa.

   $$x + y = x + y$$

8. Sustituimos primero el límite superior y después el inferior. Conservamos los paréntesis al restar.

   $$F(1 - y)-F(0) = y \left(1 - y\right) + \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2} - \left(0\right)$$

9. Aplicamos los límites: valor superior menos valor inferior. Si hay singularidades o límites infinitos, el motor evalúa la integral como impropia.

   $$\left[\frac{x^{2}}{2} + x y\right]_{0}^{1 - y} = y \left(1 - y\right) + \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2}$$

10. Integramos respecto a y. Las otras variables se tratan como constantes en esta etapa.

    $$\int \left(y \left(1 - y\right) + \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2}\right)\, dy$$

11. Separamos la suma. La integral de una suma es la suma de sus integrales.

    $$\int \left(y \left(1 - y\right) + \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2}\right)\, dy = \int \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2}\, dy + \int y \left(1 - y\right)\, dy$$

12. Hacemos un cambio de variable y reemplazamos también el diferencial; ambos deben cambiar juntos.

    $$u = - y,\quad du = -1\,dy$$

13. Separamos la suma. La integral de una suma es la suma de sus integrales.

    $$\int \left(u^{2} + u\right)\, du = \int u^{2}\, du + \int u\, du$$

14. Aplicamos la regla de potencias: sumamos 1 al exponente y dividimos por ese nuevo exponente. Se requiere n ≠ −1.

    $$\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$$

15. Aplicamos la regla de potencias: sumamos 1 al exponente y dividimos por ese nuevo exponente. Se requiere n ≠ −1.

    $$\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$$

16. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \left(u^{2} + u\right)\, du = \frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{2}}{2}$$

17. Una vez integrada la expresión en u, volvemos a la variable original.

    $$\int y \left(1 - y\right)\, dy = - \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2}$$

18. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

    $$\int \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2}\, dy = - \frac{\left(1 - y\right)^{3}}{6}$$

19. Hacemos un cambio de variable y reemplazamos también el diferencial; ambos deben cambiar juntos.

    $$u = 1 - y,\quad du = -1\,dy$$

20. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

    $$\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \frac{u^{3}}{3}$$

21. Aplicamos la regla de potencias: sumamos 1 al exponente y dividimos por ese nuevo exponente. Se requiere n ≠ −1.

    $$\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$$

22. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \frac{u^{3}}{3}$$

23. Una vez integrada la expresión en u, volvemos a la variable original.

    $$\int \left(1 - y\right)^{2}\, dy = - \frac{\left(1 - y\right)^{3}}{3}$$

24. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2}\, dy = - \frac{\left(1 - y\right)^{3}}{6}$$

25. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \left(y \left(1 - y\right) + \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2}\right)\, dy = - \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{\left(1 - y\right)^{3}}{6}$$

26. Comprobamos esta primitiva derivándola: recuperamos exactamente el integrando de esta etapa.

    $$- y^{2} + y + \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2} = y \left(1 - y\right) + \frac{\left(1 - y\right)^{2}}{2}$$

27. Sustituimos primero el límite superior y después el inferior. Conservamos los paréntesis al restar.

    $$F(1)-F(0) = \frac{1}{6} - \left(- \frac{1}{6}\right)$$

28. Aplicamos los límites: valor superior menos valor inferior. Si hay singularidades o límites infinitos, el motor evalúa la integral como impropia.

    $$\left[- \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{\left(1 - y\right)^{3}}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$

29. El resultado corresponde a los límites y al orden de integración indicados.

    $$\frac{1}{3}$$