∫IntegralPasoEnglish
Funciones racionales

Fracciones parciales

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

1x2−1=12(x−1)−12(x+1)\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}

Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, divide los polinomios primero. Factoriza el denominador y propone una suma de fracciones con coeficientes desconocidos. Para factores repetidos incluye todas las potencias; para factores cuadráticos irreducibles usa un numerador lineal. Determina coeficientes e integra término a término.

Primero: compara los grados

Importa el grado del polinomio, no si el denominador es numéricamente mayor.

deg⁡P<deg⁡Q\deg P<\deg QFracción propia

Busca un patrón directo o factoriza y descompón.

deg⁡P≥deg⁡Q\deg P\ge\deg QDivide primero

Obtén cociente y resto. Integra el cociente y descompón el resto.

Elige el caso

Fracción propia: grado del numerador menordeg⁡P<deg⁡Q\deg P<\deg QVer explicación y ejemploGrado mayor o igual: dividir primeroPQ=S+RQ,deg⁡R<deg⁡Q\frac{P}{Q}=S+\frac{R}{Q},\quad\deg R<\deg QVer explicación y ejemploFactores lineales distintosP(x−a)(x−b)=Ax−a+Bx−b\frac{P}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}Ver explicación y ejemploFactores lineales repetidosA1x−a+A2(x−a)2+⋯+Am(x−a)m\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(x-a)^m}Ver explicación y ejemploCuadráticos irreduciblesAx+Bax2+bx+c,b2−4ac<0\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c},\quad b^2-4ac<0Ver explicación y ejemploCuadráticos repetidos y factores mixtos∑k=1mAkx+Bk(ax2+bx+c)k\sum_{k=1}^m\frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}Ver explicación y ejemplo

Error frecuente

Olvidar una potencia en un factor repetido o ignorar los puntos donde el denominador se anula.

Referencia de la clasificación: OpenStax · Partial fractions

Ejemplo resuelto

∫1x2−1 dx\int \frac{1}{x^{2} - 1}\, dx

  1. Identificamos el integrando, las variables y el orden. En una integral múltiple empezamos por la integral más interior.

    ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{x^{2} - 1}\, dx

  2. Integramos respecto a x. Las otras variables se tratan como constantes en esta etapa.

    ∫1x2−1 dx\int \frac{1}{x^{2} - 1}\, dx

  3. Factorizamos el denominador para identificar los bloques de la descomposición.

    x2−1=(x−1)(x+1)x^{2} - 1 = \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)

  4. Introducimos coeficientes desconocidos para cada bloque.

    1x2−1=A12x−2+A22x+2\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{A_{1}}{2 x - 2} + \frac{A_{2}}{2 x + 2}

  5. Multiplicamos por el denominador común e igualamos los coeficientes de cada potencia.

    A12+A22=0,A12−A22−1=0\frac{A_{1}}{2} + \frac{A_{2}}{2} = 0,\quad \frac{A_{1}}{2} - \frac{A_{2}}{2} - 1 = 0

  6. Resolvemos el sistema de coeficientes y sustituimos esos valores en las fracciones.

    A1=1,A2=−1A_{1} = 1,\quad A_{2} = -1

  7. Descomponemos la función racional en fracciones parciales; si hace falta, realizamos antes la división de polinomios.

    1x2−1=−12(x+1)+12(x−1)\frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}

  8. Separamos la suma. La integral de una suma es la suma de sus integrales.

    ∫(−12(x+1)+12(x−1)) dx=∫12(x−1) dx+∫(−12(x+1)) dx\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = \int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx + \int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx

  9. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

    ∫(−12(x+1)) dx=−log⁡(x+1)2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

  10. Hacemos un cambio de variable y reemplazamos también el diferencial; ambos deben cambiar juntos.

    u=x+1,du=1 dxu = x + 1,\quad du = 1\,dx

  11. Para 1/x usamos el logaritmo. En el dominio real, la primitiva se expresa con valor absoluto y x ≠ 0.

    ∫1u du=log⁡(u)\int \frac{1}{u}\, du = \log{\left(u \right)}

  12. Una vez integrada la expresión en u, volvemos a la variable original.

    ∫1x+1 dx=log⁡(x+1)\int \frac{1}{x + 1}\, dx = \log{\left(x + 1 \right)}

  13. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    ∫(−12(x+1)) dx=−log⁡(x+1)2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

  14. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

    ∫12(x−1) dx=log⁡(x−1)2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

  15. Hacemos un cambio de variable y reemplazamos también el diferencial; ambos deben cambiar juntos.

    u=x−1,du=1 dxu = x - 1,\quad du = 1\,dx

  16. Para 1/x usamos el logaritmo. En el dominio real, la primitiva se expresa con valor absoluto y x ≠ 0.

    ∫1u du=log⁡(u)\int \frac{1}{u}\, du = \log{\left(u \right)}

  17. Una vez integrada la expresión en u, volvemos a la variable original.

    ∫1x−1 dx=log⁡(x−1)\int \frac{1}{x - 1}\, dx = \log{\left(x - 1 \right)}

  18. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    ∫12(x−1) dx=log⁡(x−1)2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

  19. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    ∫(−12(x+1)+12(x−1)) dx=log⁡(x−1)2−log⁡(x+1)2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

  20. Comprobamos esta primitiva derivándola: recuperamos exactamente el integrando de esta etapa.

    −12(x+1)+12(x−1)=1x2−1- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} = \frac{1}{x^{2} - 1}

  21. Añadimos la constante C: todas las primitivas de un intervalo difieren en una constante.

    log⁡(∣x−1∣)2−log⁡(∣x+1∣)2+C\frac{\log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} + C
Resultadolog⁡(∣x−1∣)2−log⁡(∣x+1∣)2+C\frac{\log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} + C

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