Impropias y convergencia

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

Un extremo infinito o una singularidad obliga a usar límites. Si hay una singularidad interior, divide la integral allí y exige que converjan ambos lados por separado. Un valor principal de Cauchy no equivale a una integral impropia convergente. Obtener una primitiva no basta para demostrar convergencia.

Ejemplo resuelto

1. Identificamos el integrando, las variables y el orden. En una integral múltiple empezamos por la integral más interior.

   $$\int\limits_{0}^{\infty} e^{- x}\, dx$$

2. Integramos respecto a x. Las otras variables se tratan como constantes en esta etapa.

   $$\int e^{- x}\, dx$$

3. Hacemos un cambio de variable y reemplazamos también el diferencial; ambos deben cambiar juntos.

   $$u = - x,\quad du = -1\,dx$$

4. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

   $$\int \left(- e^{u}\right)\, du = - e^{u}$$

5. La exponencial es su propia derivada. Si el exponente tiene un factor constante, compensamos ese factor.

   $$\int e^{u}\, du = e^{u}$$

6. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

   $$\int \left(- e^{u}\right)\, du = - e^{u}$$

7. Una vez integrada la expresión en u, volvemos a la variable original.

   $$\int e^{- x}\, dx = - e^{- x}$$

8. Comprobamos esta primitiva derivándola: recuperamos exactamente el integrando de esta etapa.

   $$e^{- x} = e^{- x}$$

9. Reemplazamos el extremo infinito por b y tomamos el límite cuando b tiende a infinito.

   $$\lim_{b \to \infty}\left(1 - e^{- b}\right) = 1$$

10. Aplicamos los límites: valor superior menos valor inferior. Si hay singularidades o límites infinitos, el motor evalúa la integral como impropia.

    $$\left[- e^{- x}\right]_{0}^{\infty} = 1$$

11. El resultado corresponde a los límites y al orden de integración indicados.

    $$1$$