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Tipos de integrales y cómo elegir el método

Antes de elegir una fórmula, distingue qué estás calculando. El tipo de integral describe el problema; el método describe cómo resolverlo. Una integral definida, por ejemplo, puede resolverse por sustitución, por partes o mediante otra técnica.

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Clasificación de los tipos de integrales

Integrales indefinidas

Buscan una familia de primitivas F(x) + C. El resultado es una función y se comprueba derivando en el dominio adecuado. No tienen límites de integración.

∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx=x^2+CVer la guía y sus ejemplos →

Integrales definidas

Acumulan una magnitud entre dos límites. Si se cumplen las hipótesis del teorema fundamental, se calculan como F(b) − F(a). El valor puede ser negativo: no siempre coincide con un área geométrica.

∫02x2 dx=83\int_0^2x^2\,dx=\frac83Ver la guía y sus ejemplos →

Integrales impropias

Tienen extremos infinitos o singularidades en el intervalo. Se definen mediante límites y requieren comprobar convergencia. Una singularidad interior obliga a estudiar ambos lados por separado.

∫0∞e−x dx=1\int_0^\infty e^{-x}\,dx=1Ver la guía y sus ejemplos →

Integrales dobles

Integran sobre una región del plano. Pueden representar área, masa de una lámina o volumen bajo una superficie, según el integrando. Los límites deben describir la región completa sin duplicarla.

∫01∫01−y1 dx dy=12\int_0^1\int_0^{1-y}1\,dx\,dy=\frac12Ver la guía y sus ejemplos →

Integrales triples

Integran sobre una región del espacio. Con integrando 1 calculan volumen; con una densidad, masa. Cada límite interior puede depender de las variables que todavía quedan por integrar.

∫01∫01∫011 dz dy dx=1\int_0^1\int_0^1\int_0^1 1\,dz\,dy\,dx=1Ver la guía y sus ejemplos →

Integrales de línea y superficie

Acumulan magnitudes sobre curvas o superficies. Necesitan parametrizaciones, elementos de longitud o área y, para circulación o flujo, una orientación. Se explican en las guías avanzadas; no son un modo específico de la calculadora.

∮∂DP dx+Q dy=∬D(Qx−Py) dA\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dAVer la guía y sus ejemplos →

Qué método de integración elegir

No hay una receta que resuelva cualquier integral. Empieza por simplificar la expresión y busca estas señales, en este orden orientativo:

  1. Sumas y potencias. Aplica linealidad y primitivas inmediatas. Recuerda la excepción 1/x y su logaritmo. Regla de potencias.
  2. Función compuesta junto a su derivada. Prueba un cambio u = g(x) y transforma toda la expresión. Integrales por sustitución.
  3. Producto que se simplifica al derivar un factor. Plantea u y dv, y comprueba que puedes integrar dv. Integrales por partes.
  4. Cociente de polinomios. Compara sus grados. Si el numerador tiene grado mayor o igual, divide primero. Después factoriza el denominador. Fracciones parciales.
  5. Potencias trigonométricas o raíces. Busca identidades o una sustitución que simplifique la raíz, respetando signos y dominio. Identidades trigonométricas · Sustitución trigonométrica.

Si ninguna técnica elemental funciona, puede ser necesario usar funciones especiales o aproximación numérica. No obtener una primitiva elemental no significa que una integral definida no exista. Primitivas no elementales.

Polares, cilíndricas o esféricas: cómo decidir

El cambio de coordenadas debe simplificar la región o el integrando. Reescribe ambos y utiliza el valor absoluto del determinante jacobiano.

  • Coordenadas polares: discos, sectores y anillos en el plano. El elemento de área es r dr dθ.
  • Coordenadas cilíndricas: simetría alrededor de un eje, cilindros, conos y paraboloides. Conservas z y el factor del volumen es r.
  • Coordenadas esféricas: esferas y regiones radiales. Aquí φ se mide desde el eje z y el factor del volumen es r² sen φ.

En todos los casos, revisa que los intervalos cubran la región una sola vez. Si cambias el orden de integración, describe otra vez la región: no basta con permutar los diferenciales. Cambio de orden y Fubini.

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Utiliza la calculadora para estudiar una resolución concreta, la biblioteca para entender el método y Aprender para practicar antes de revelar la respuesta.