Cambio de orden y Fubini

Cuándo elegir este método

• La integral interior es difícil, pero la región se puede describir con cortes en la otra dirección.
• Comprueba continuidad o integrabilidad antes de aplicar el intercambio. Si los cortes cambian de frontera, divide la región.

Antes de calcular

1. Convierte los límites en desigualdades y dibuja las fronteras.
2. Proyecta sobre el nuevo eje exterior y encuentra el recorrido interior.

Un ejemplo completo, paso a paso

1. El diferencial interior es dy: x se mantiene fijo mientras y va de x a 1.

   $$D=\{(x,y):0\le x\le1,\ x\le y\le1\}$$

2. La región está por encima de y=x y por debajo de y=1, en el primer cuadrante.

   $$0\le x\le y\le1$$

3. Con un corte horizontal, y va de 0 a 1 y x va de 0 a y.

   $$I=\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy$$

4. El integrando no depende de x. La integral interior es el valor de la función multiplicado por la anchura y.

   $$\int_0^y e^{y^2}\,dx=\left[xe^{y^2}\right]_0^y=ye^{y^2}$$

5. Ahora aparece la derivada del exponente: usa u=y². Los límites siguen siendo 0 y 1.

   $$I=\frac12\int_0^1 e^u\,du=\frac{e-1}{2}$$

Ahora inténtalo tú

Resuelve en papel antes de abrir la pista o la respuesta. Estas actividades son de autoevaluación; para corregir una respuesta escrita, entra en Aprender.

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