Potencias y linealidad

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

Separa las sumas y saca los factores constantes. Para cada potencia suma uno al exponente y divide por el nuevo exponente. La excepción es x⁻¹: su primitiva es ln|x|. Comprueba siempre derivando y añade una única constante C al resultado final.

Ejemplo resuelto

1. Identificamos el integrando, las variables y el orden. En una integral múltiple empezamos por la integral más interior.

   $$\int \left(3 x^{2} - 4 x + 2\right)\, dx$$

2. Integramos respecto a x. Las otras variables se tratan como constantes en esta etapa.

   $$\int \left(3 x^{2} - 4 x + 2\right)\, dx$$

3. Separamos la suma. La integral de una suma es la suma de sus integrales.

   $$\int \left(3 x^{2} - 4 x + 2\right)\, dx = \int 2\, dx + \int \left(- 4 x\right)\, dx + \int 3 x^{2}\, dx$$

4. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

   $$\int 3 x^{2}\, dx = x^{3}$$

5. Aplicamos la regla de potencias: sumamos 1 al exponente y dividimos por ese nuevo exponente. Se requiere n ≠ −1.

   $$\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$$

6. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

   $$\int 3 x^{2}\, dx = x^{3}$$

7. Sacamos el factor constante: no depende de la variable de integración.

   $$\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 2 x^{2}$$

8. Aplicamos la regla de potencias: sumamos 1 al exponente y dividimos por ese nuevo exponente. Se requiere n ≠ −1.

   $$\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$$

9. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

   $$\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 2 x^{2}$$

10. Una constante se integra multiplicándola por la variable.

    $$\int 2\, dx = 2 x$$

11. Reunimos los resultados de los subpasos y simplificamos.

    $$\int \left(3 x^{2} - 4 x + 2\right)\, dx = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$$

12. Comprobamos esta primitiva derivándola: recuperamos exactamente el integrando de esta etapa.

    $$3 x^{2} - 4 x + 2 = 3 x^{2} - 4 x + 2$$

13. Añadimos la constante C: todas las primitivas de un intervalo difieren en una constante.

    $$x \left(x^{2} - 2 x + 2\right) + C$$