∫IntegralPasoEnglish
Funciones racionales

Factores lineales repetidos

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

A1x−a+A2(x−a)2+⋯+Am(x−a)m\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(x-a)^m}

Un factor elevado a m requiere todas las potencias desde 1 hasta m. Resuelve las constantes juntas. La potencia 1 da un logaritmo; las siguientes usan la regla de potencias con exponentes negativos.

Error frecuente

No omitas los términos de las potencias intermedias.

GUÍA DESARROLLADA · 9 min

Aprender a descomponer un factor lineal repetido sin olvidar ninguna potencia.

Cuándo elegir este método

  • El integrando es un cociente de polinomios y el denominador tiene (x−a) elevado a una potencia.
  • Primero compara grados. Si el numerador tiene grado mayor o igual, divide antes de descomponer.

Antes de calcular

  1. Incluye una fracción por cada potencia, desde 1 hasta la multiplicidad del factor.
  2. Elimina denominadores, compara coeficientes e integra los términos obtenidos.

Un ejemplo completo, paso a paso

∫2x+3(x−1)2 dx\int\frac{2x+3}{(x-1)^2}\,dx

  1. El denominador tiene grado 2 y el numerador grado 1. La fracción es propia; el dominio excluye x=1.

    deg⁡P=1<2=deg⁡Q,x≠1\deg P=1<2=\deg Q,\qquad x\ne1

  2. El factor está repetido dos veces. Necesitamos un término con (x−1) y otro con (x−1)².

    2x+3(x−1)2=Ax−1+B(x−1)2\frac{2x+3}{(x-1)^2}=\frac A{x-1}+\frac B{(x-1)^2}

  3. Multiplicamos la identidad por el denominador común; ahora comparamos polinomios.

    2x+3=A(x−1)+B=Ax+(B−A)2x+3=A(x-1)+B=Ax+(B-A)

  4. Los coeficientes de x dan A=2. Los términos independientes dan B−A=3, por lo que B=5.

    A=2,B−A=3⟹B=5A=2,\quad B-A=3\quad\Longrightarrow\quad B=5

  5. Separamos la integral. El primer término es logarítmico; el segundo es una potencia con exponente −2.

    I=2∫dxx−1+5∫(x−1)−2 dxI=2\int\frac{dx}{x-1}+5\int(x-1)^{-2}\,dx

  6. Integramos, conservamos el valor absoluto y añadimos una sola constante.

    I=2ln⁡∣x−1∣−5x−1+CI=2\ln|x-1|-\frac5{x-1}+C

Comprueba el resultado y el dominio

La derivada recupera el cociente original. La primitiva se interpreta por separado en x<1 y x>1.

2x−1+5(x−1)2=2x+3(x−1)2\frac2{x-1}+\frac5{(x-1)^2}=\frac{2x+3}{(x-1)^2}
Cargar este ejemplo en la calculadora

Ahora inténtalo tú

Resuelve en papel antes de abrir la pista o la respuesta. Estas actividades son de autoevaluación; para corregir una respuesta escrita, entra en Aprender.

EJERCICIO 1∫dx(x−2)2\int\frac{dx}{(x-2)^2}
Ver una pista

Es una potencia −2 después de trasladar x.

Comprobar mi resultado−1x−2+C-\frac1{x-2}+C
EJERCICIO 2∫3x+1(x+1)2 dx\int\frac{3x+1}{(x+1)^2}\,dx
Ver una pista

Escribe 3x+1=3(x+1)−2.

Comprobar mi resultado3ln⁡∣x+1∣+2x+1+C3\ln|x+1|+\frac2{x+1}+C
EJERCICIO 3∫x+2(x−1)3 dx\int\frac{x+2}{(x-1)^3}\,dx
Ver una pista

Escribe x+2=(x−1)+3.

Comprobar mi resultado−1x−1−32(x−1)2+C-\frac1{x-1}-\frac3{2(x-1)^2}+C
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Conecta con otros métodos

Fracciones parciales →Grado mayor o igual: dividir primero →Cuadráticos repetidos y factores mixtos →
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