Por partes cíclica

Cuándo elegir este método

• Un producto de exponencial y seno o coseno vuelve a la forma inicial después de dos aplicaciones.
• Mantén el mismo símbolo I durante el desarrollo y añade C una sola vez al final.

Antes de calcular

1. Aplica por partes dos veces, vigilando los signos.
2. Pasa el múltiplo de I al otro miembro y divide por su coeficiente.

Un ejemplo completo, paso a paso

1. Elegimos u=sin(2x) y dv=eˣ dx; la derivada de u incluye el factor 2.

   $$du=2\cos(2x)\,dx,\quad v=e^x$$

2. Aplicamos la fórmula y llamamos J a la integral que queda.

   $$I=e^x\sin(2x)-2J,\qquad J=\int e^x\cos(2x)\,dx$$

3. En J volvemos a integrar por partes. La derivada del coseno lleva signo menos.

   $$J=e^x\cos(2x)+2I$$

4. Sustituimos J en la primera igualdad. El −2 multiplica todos sus términos.

   $$I=e^x\sin(2x)-2e^x\cos(2x)-4I$$

5. Sumamos 4I a ambos lados y dividimos entre 5.

   $$I=\frac{e^x}{5}\bigl(\sin(2x)-2\cos(2x)\bigr)+C$$

Ahora inténtalo tú

Resuelve en papel antes de abrir la pista o la respuesta. Estas actividades son de autoevaluación; para corregir una respuesta escrita, entra en Aprender.

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