Cambios exponenciales y logarítmicos

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

Una función racional de eˣ se vuelve racional en t=eˣ, con t>0. Si aparece dx/x acompañado de logaritmos, t=ln x suele simplificarla, en x>0.

Ejemplo paso a paso

1. Usa t = eˣ.

   $$I=\int\frac{e^x}{1+e^x}\,dx,\quad dt=e^x\,dx$$

2. Integra la fracción racional.

   $$I=\int\frac{dt}{1+t}=\ln(1+t)$$

3. Vuelve a x; 1+eˣ es positivo.

   $$I=\ln(1+e^x)+C$$