Cuadráticos repetidos y factores mixtos

Cuándo elegir este método

• Un factor cuadrático no tiene raíces reales: su discriminante es negativo.
• Para Q(x)², la plantilla general incluye (Ax+B)/Q y (Cx+D)/Q². Algunos coeficientes pueden resultar cero.

Antes de calcular

1. Busca primero si aparece la derivada del cuadrático. Separa la parte restante.
2. Usa arctangente, reducción o sustitución trigonométrica para el término que queda.

Un ejemplo completo, paso a paso

1. El cuadrático x²+1 nunca se anula en los reales y está elevado al cuadrado.

   $$\Delta=0^2-4\cdot1\cdot1=-4<0$$

2. Separamos 2x, que es la derivada de x²+1, del término constante.

   $$I=\int\frac{2x}{(x^2+1)^2}\,dx+\int\frac{dx}{(x^2+1)^2}$$

3. En la primera integral u=x²+1 y du=2x dx.

   $$\int u^{-2}\,du=-u^{-1}=-\frac1{x^2+1}$$

4. En la segunda usamos x=tan t en −π/2<t<π/2. Cambiamos también el diferencial.

   $$dx=\sec^2t\,dt,\quad (1+x^2)^2=\sec^4t$$

5. El cociente se transforma en cos²t; la identidad de ángulo doble permite integrarlo.

   $$\int\cos^2t\,dt=\frac t2+\frac{\sin(2t)}4$$

6. Volvemos con t=arctan x y sin(2t)=2x/(1+x²).

   $$\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\frac12\arctan x+\frac{x}{2(1+x^2)}$$

7. Reunimos ambas partes; la fórmula es real para todo x.

   $$I=\frac12\arctan x+\frac{x-2}{2(1+x^2)}+C$$

Ahora inténtalo tú

Resuelve en papel antes de abrir la pista o la respuesta. Estas actividades son de autoevaluación; para corregir una respuesta escrita, entra en Aprender.

Conecta con otros métodos