Contornos complejos y residuos

Material del proyecto IntegralPaso. Condiciones y límites indicados en cada guía; revisión docente externa pendiente.

Para ciertas integrales reales extendidas a funciones complejas, elige un contorno y calcula los polos interiores. Debes justificar la contribución del arco, la orientación y las hipótesis analíticas. Es una técnica de análisis complejo, no un método automático disponible en la calculadora.

Ejemplo paso a paso

1. Cierra 1/(z²+1) en el semiplano superior.

   $$f(z)=\frac1{(z-i)(z+i)}$$

2. El único polo interior es i.

   $$\operatorname{Res}(f,i)=\frac1{2i}$$

3. El arco se anula al crecer su radio.

   $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=2\pi i\frac1{2i}=\pi$$